Решете t^2-6t+1geq0

$$t ^ { 2 } - 6 t + 1 \geq 0$$

Решаване за t

$$t\in (-\infty,3-2\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2}+3,\infty)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$t^{2}-6t+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -6 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}$$

Решете уравнението t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$t=2\sqrt{2}+3 t=3-2\sqrt{2}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$\left(t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\right)\left(t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\right)\geq 0$$

За да бъде произведението ≥0, трябва и двата множителя t-\left(2\sqrt{2}+3\right) и t-\left(3-2\sqrt{2}\right) да бъдат ≤0 или и двата да бъдат ≥0. Разгледайте случая, когато t-\left(2\sqrt{2}+3\right) и t-\left(3-2\sqrt{2}\right) са ≤0.

$$t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\leq 0 t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е t\leq 3-2\sqrt{2}.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}$$

Разгледайте случая, когато t-\left(2\sqrt{2}+3\right) и t-\left(3-2\sqrt{2}\right) са ≥0.

$$t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\geq 0 t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\geq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е t\geq 2\sqrt{2}+3.

$$t\geq 2\sqrt{2}+3$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}\text{; }t\geq 2\sqrt{2}+3$$