Решете p^4-2p^2-8

$$p ^ { 4 } - 2 p ^ { 2 } - 8$$

Разлагане на множители

$$\left(p-2\right)\left(p+2\right)\left(p^{2}+2\right)$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$p^{4}-2p^{2}-8=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -8, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$p=2$$

Според теоремата за множителите p-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете p^{4}-2p^{2}-8 на p-2, за да получите p^{3}+2p^{2}+2p+4. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$p^{3}+2p^{2}+2p+4=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 4, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$p=-2$$

Според теоремата за множителите p-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете p^{3}+2p^{2}+2p+4 на p+2, за да получите p^{2}+2. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$p^{2}+2=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и 2 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$p=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$p=\frac{0±\sqrt{-8}}{2}$$

Полиномът p^{2}+2 не е разложен на множители, тъй като няма рационални корени.

$$p^{2}+2$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени.

$$\left(p-2\right)\left(p+2\right)\left(p^{2}+2\right)$$

Изчисляване

$$p^{4}-2p^{2}-8$$