Решете n^3=-216

$$n ^ { 3 } = - 216$$

Решаване за n (complex solution)

$$n=-3\sqrt{3}i+3\approx 3-5,196152423i$$

$$n=-6$$

$$n=3+3\sqrt{3}i\approx 3+5,196152423i$$

Стъпки на решението

Добавете 216 от двете страни.

$$n^{3}+216=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 216, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±216,±108,±72,±54,±36,±27,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$n=-6$$

Според теоремата за множителите n-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете n^{3}+216 на n+6, за да получите n^{2}-6n+36. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$n^{2}-6n+36=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -6 за b и 36 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$n=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 36}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$n=\frac{6±\sqrt{-108}}{2}$$

Решете уравнението n^{2}-6n+36=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$n=-3i\sqrt{3}+3 n=3+3i\sqrt{3}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$n=-6 n=-3i\sqrt{3}+3 n=3+3i\sqrt{3}$$

Решаване за n

$$n=-6$$

Стъпки на решението

Добавете 216 от двете страни.

$$n^{3}+216=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 216, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±216,±108,±72,±54,±36,±27,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$n=-6$$

Според теоремата за множителите n-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете n^{3}+216 на n+6, за да получите n^{2}-6n+36. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$n^{2}-6n+36=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -6 за b и 36 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$n=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 36}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$n=\frac{6±\sqrt{-108}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$n\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$n=-6$$