Решете n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Решаване за n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Изчислявате 2 на степен 2009 и получавате 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -4019 за b и 4036081 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Решете уравнението n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

За да бъде произведението ≤0, една от стойностите n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} и n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} трябва да бъде ≥0, а другата трябва да бъде ≤0. Разгледайте случая, когато n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 и n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Това е невярно за всяко n.

$$n\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 и n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$