Решете n^2-4019n+2009^2=0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } = 0$$

Решаване за n

$$n = \frac{3 \sqrt{893} + 4019}{2} \approx 2054,324658392$$

$$n = \frac{4019 - 3 \sqrt{893}}{2} \approx 1964,675341608$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Изчислявате 2 на степен 2009 и получавате 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -4019 вместо b и 4036081 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 4036081}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -4019.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-4\times 4036081}}{2}$$

Умножете -4 по 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-16144324}}{2}$$

Съберете 16152361 с -16144324.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{8037}}{2}$$

Получете корен квадратен от 8037.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±3\sqrt{893}}{2}$$

Противоположното на -4019 е 4019.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Сега решете уравнението n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}, когато ± е плюс. Съберете 4019 с 3\sqrt{893}.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}$$

Сега решете уравнението n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}, когато ± е минус. Извадете 3\sqrt{893} от 4019.

$$n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Изчислявате 2 на степен 2009 и получавате 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Извадете 4036081 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$n^{2}-4019n=-4036081$$

Разделете -4019 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{4019}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{4019}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$n^{2}-4019n+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}=-4036081+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{4019}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=-4036081+\frac{16152361}{4}$$

Съберете -4036081 с \frac{16152361}{4}.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=\frac{8037}{4}$$

Разложете на множител n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}=\frac{8037}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8037}{4}}$$

Опростявайте.

$$n-\frac{4019}{2}=\frac{3\sqrt{893}}{2} n-\frac{4019}{2}=-\frac{3\sqrt{893}}{2}$$

Съберете \frac{4019}{2} към двете страни на уравнението.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$