Решете k^2-4(8k+36)=0

$$k ^ { 2 } - 4 ( 8 k + 36 ) = 0$$

Решаване за k

$$k=-4$$

$$k=36$$

Стъпки с разлагане на множители

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4 по 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът k^{2}-32k-144 с помощта на формула k^{2}+\left(a+b\right)k+ab=\left(k+a\right)\left(k+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-32 ab=-144$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -144 на продукта.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Решението е двойката, която дава сума -32.

$$a=-36 b=4$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(k+a\right)\left(k+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(k-36\right)\left(k+4\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете k-36=0 и k+4=0.

$$k=36 k=-4$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4 по 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като k^{2}+ak+bk-144. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-32 ab=1\left(-144\right)=-144$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -144 на продукта.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Решението е двойката, която дава сума -32.

$$a=-36 b=4$$

Напишете k^{2}-32k-144 като \left(k^{2}-36k\right)+\left(4k-144\right).

$$\left(k^{2}-36k\right)+\left(4k-144\right)$$

Фактор, k в първата и 4 във втората група.

$$k\left(k-36\right)+4\left(k-36\right)$$

Разложете на множители общия член k-36, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(k-36\right)\left(k+4\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете k-36=0 и k+4=0.

$$k=36 k=-4$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4 по 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -32 вместо b и -144 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\left(-144\right)}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -32.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\left(-144\right)}}{2}$$

Умножете -4 по -144.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+576}}{2}$$

Съберете 1024 с 576.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1600}}{2}$$

Получете корен квадратен от 1600.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±40}{2}$$

Противоположното на -32 е 32.

$$k=\frac{32±40}{2}$$

Сега решете уравнението k=\frac{32±40}{2}, когато ± е плюс. Съберете 32 с 40.

$$k=\frac{72}{2}$$

Разделете 72 на 2.

$$k=36$$

Сега решете уравнението k=\frac{32±40}{2}, когато ± е минус. Извадете 40 от 32.

$$k=-\frac{8}{2}$$

Разделете -8 на 2.

$$k=-4$$

Уравнението сега е решено.

$$k=36 k=-4$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4 по 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Добавете 144 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$k^{2}-32k=144$$

Разделете -32 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -16. След това съберете квадрата на -16 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$k^{2}-32k+\left(-16\right)^{2}=144+\left(-16\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -16.

$$k^{2}-32k+256=144+256$$

Съберете 144 с 256.

$$k^{2}-32k+256=400$$

Разложете на множител k^{2}-32k+256. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-16\right)^{2}=400$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(k-16\right)^{2}}=\sqrt{400}$$

Опростявайте.

$$k-16=20 k-16=-20$$

Съберете 16 към двете страни на уравнението.

$$k=36 k=-4$$