Решете f(x)=x^4-29x^2+100

$$f ( x ) = x ^ { 4 } - 29 x ^ { 2 } + 100$$

Разлагане на множители

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{4}-29x^{2}+100=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 100, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±100,±50,±25,±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-29x^{2}+100 на x-2, за да получите x^{3}+2x^{2}-25x-50. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{3}+2x^{2}-25x-50=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -50, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±50,±25,±10,±5,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+2x^{2}-25x-50 на x+2, за да получите x^{2}-25. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{2}-25=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и -25 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-25\right)}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±10}{2}$$

Решете уравнението x^{2}-25=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-5 x=5$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Изчисляване

$$x^{4}-29x^{2}+100$$