Решете f(x)=5x^4+80x^3+276x^2+16x+55

$$f ( x ) = 5 x ^ { 4 } + 80 x ^ { 3 } + 276 x ^ { 2 } + 16 x + 55$$

Разлагане на множители

$$\left(x+5\right)\left(x+11\right)\left(5x^{2}+1\right)$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$5x^{4}+80x^{3}+276x^{2}+16x+55=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 55, а q разделя водещия коефициент 5. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±11,±55,±\frac{11}{5},±1,±5,±\frac{1}{5}$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-5$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 5x^{4}+80x^{3}+276x^{2}+16x+55 на x+5, за да получите 5x^{3}+55x^{2}+x+11. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$5x^{3}+55x^{2}+x+11=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 11, а q разделя водещия коефициент 5. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{11}{5},±11,±\frac{1}{5},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-11$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 5x^{3}+55x^{2}+x+11 на x+11, за да получите 5x^{2}+1. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$5x^{2}+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 5 за a, 0 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 1}}{2\times 5}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±\sqrt{-20}}{10}$$

Полиномът 5x^{2}+1 не е разложен на множители, тъй като няма рационални корени.

$$5x^{2}+1$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени.

$$\left(x+5\right)\left(x+11\right)\left(5x^{2}+1\right)$$

Изчисляване

$$\left(x+5\right)\left(x+11\right)\left(5x^{2}+1\right)$$