Решете f(x)=3x^4-7x^3-19x^2+49x-14

$$f ( x ) = 3 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } - 19 x ^ { 2 } + 49 x - 14$$

Разлагане на множители

$$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)\left(x^{2}-7\right)$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$3x^{4}-7x^{3}-19x^{2}+49x-14=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -14, а q разделя водещия коефициент 3. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{14}{3},±14,±\frac{7}{3},±7,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 3x^{4}-7x^{3}-19x^{2}+49x-14 на x-2, за да получите 3x^{3}-x^{2}-21x+7. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$3x^{3}-x^{2}-21x+7=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 7, а q разделя водещия коефициент 3. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=\frac{1}{3}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 3x^{3}-x^{2}-21x+7 на 3\left(x-\frac{1}{3}\right)=3x-1, за да получите x^{2}-7. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{2}-7=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и -7 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-7\right)}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±2\sqrt{7}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}-7=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-\sqrt{7} x=\sqrt{7}$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени. Полиномът x^{2}-7 не е разложен на множители, тъй като няма рационални корени.

$$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)\left(x^{2}-7\right)$$

Изчисляване

$$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)\left(x^{2}-7\right)$$