Решете f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

Разлагане на множители

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -20, а q разделя водещия коефициент 2. Един такъв корен е -\frac{5}{2}. Разложете полинома на множители, като го разделите с 2x+5.

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

Сметнете x^{3}+3x^{2}-4. По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -4, а q разделя водещия коефициент 1. Един такъв корен е -2. Разложете полинома на множители, като го разделите с x+2.

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

Сметнете x^{2}+x-2. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като x^{2}+ax+bx-2. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=-1 b=2$$

Напишете x^{2}+x-2 като \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

Фактор, x в първата и 2 във втората група.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Разложете на множители общия член x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Изчисляване

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$