Решете f(x)=-x^3+15x^2-75x+125

$$f ( x ) = - x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 75 x + 125$$

Разлагане на множители

$$\left(5-x\right)^{3}$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 125, а q разделя водещия коефициент -1. Един такъв корен е 5. Разложете полинома на множители, като го разделите с x-5.

$$\left(x-5\right)\left(-x^{2}+10x-25\right)$$

Сметнете -x^{2}+10x-25. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като -x^{2}+ax+bx-25. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=10 ab=-\left(-25\right)=25$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 25 на продукта.

$$1,25 5,5$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+25=26 5+5=10$$

Решението е двойката, която дава сума 10.

$$a=5 b=5$$

Напишете -x^{2}+10x-25 като \left(-x^{2}+5x\right)+\left(5x-25\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(5x-25\right)$$

Фактор, -x в първата и 5 във втората група.

$$-x\left(x-5\right)+5\left(x-5\right)$$

Разложете на множители общия член x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-5\right)\left(-x+5\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$\left(-x+5\right)\left(x-5\right)^{2}$$

Изчисляване

$$\left(5-x\right)^{3}$$