Решете f(x)=siny

$$f ( x ) = \sin y$$

Диференциране по отношение на y

$$\cos(y)$$

Стъпки с използване на дефиницията на производна

За функция f\left(x\right), производната е границата на \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, като h дава 0, ако тази граница съществува.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Използвайте формулата на сума за синус.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

Разложете на множители \sin(y).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Преобразувайте границата.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Използвайте факта, че y е константа, когато изчислявате границите, когато h се стреми към 0.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Границата \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} е 1.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

За да изчислите границата на \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, първо умножете числител и знаменател по \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Умножете \cos(h)+1 по \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Използвайте питагоровото тъждество.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Преобразувайте границата.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Границата \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} е 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Използвайте факта, че \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} е непрекъсната в 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Заместете стойността 0 в израза \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y).

$$\cos(y)$$

Изчисляване

$$\sin(y)$$