Решете f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

Изчисляване

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Стъпки на решението

Първо изчислете неопределената интегрална част.

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

Интегриране на общата сума по израз.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Отчетете константата за всяко едно от условията.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Тъй като \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int t^{3}\mathrm{d}t с \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Тъй като \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, заместете \int t^{2}\mathrm{d}t с \frac{t^{3}}{3}. Умножете 2 по \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

Намиране на интеграла на 1, като се използва таблицата с общи интегрални правила \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

Определеният интеграл е първообразът на израза, изчислен за горната граница на интегриране, минус първообраза, изчислен за долната граница на интегриране.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Опростявайте.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Диференциране по отношение на x

$$x^{3}+2x^{2}+1$$