Решете a^5-6a^4+16a^3-32a^2+48a-32

$$a ^ { 5 } - 6 a ^ { 4 } + 16 a ^ { 3 } - 32 a ^ { 2 } + 48 a - 32$$

Разлагане на множители

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -32, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$a=2$$

Според теоремата за множителите a-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32 на a-2, за да получите a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 16, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$a=2$$

Според теоремата за множителите a-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 на a-2, за да получите a^{3}-2a^{2}+4a-8. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$a^{3}-2a^{2}+4a-8=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -8, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$a=2$$

Според теоремата за множителите a-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете a^{3}-2a^{2}+4a-8 на a-2, за да получите a^{2}+4. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$a^{2}+4=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и 4 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$a=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Полиномът a^{2}+4 не е разложен на множители, тъй като няма рационални корени.

$$a^{2}+4$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени.

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

Изчисляване

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$