Решете a^4-20a^2+64

$$a ^ { 4 } - 20 a ^ { 2 } + 64$$

Разлагане на множители

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$a^{4}-20a^{2}+64=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 64, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$a=2$$

Според теоремата за множителите a-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете a^{4}-20a^{2}+64 на a-2, за да получите a^{3}+2a^{2}-16a-32. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$a^{3}+2a^{2}-16a-32=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -32, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$a=-2$$

Според теоремата за множителите a-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете a^{3}+2a^{2}-16a-32 на a+2, за да получите a^{2}-16. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$a^{2}-16=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и -16 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$a=\frac{0±8}{2}$$

Решете уравнението a^{2}-16=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$a=-4 a=4$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени.

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

Изчисляване

$$a^{4}-20a^{2}+64$$