Решете a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Решаване за a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -68 за b и 225 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Решете уравнението a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

За да бъде произведението ≤0, една от стойностите a-\left(7\sqrt{19}+34\right) и a-\left(34-7\sqrt{19}\right) трябва да бъде ≥0, а другата трябва да бъде ≤0. Разгледайте случая, когато a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 и a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Това е невярно за всяко a.

$$a\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 и a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$