Решете G(x)=x^4-3x^2+2

$$G ( x ) = x ^ { 4 } - 3 x ^ { 2 } + 2$$

Разлагане на множители

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-2\right)$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{4}-3x^{2}+2=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 2, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-3x^{2}+2 на x-1, за да получите x^{3}+x^{2}-2x-2. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{3}+x^{2}-2x-2=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -2, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+x^{2}-2x-2 на x+1, за да получите x^{2}-2. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{2}-2=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и -2 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±2\sqrt{2}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}-2=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-\sqrt{2} x=\sqrt{2}$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени. Полиномът x^{2}-2 не е разложен на множители, тъй като няма рационални корени.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-2\right)$$

Изчисляване

$$x^{4}-3x^{2}+2$$