Решете 90m^2-137m-45

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

Разлагане на множители

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 90m^{2}+am+bm-45. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -4050 на продукта.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

Решението е двойката, която дава сума -137.

$$a=-162 b=25$$

Напишете 90m^{2}-137m-45 като \left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right).

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

Фактор, 18m в първата и 5 във втората група.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

Разложете на множители общия член 5m-9, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Повдигане на квадрат на -137.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Умножете -4 по 90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Умножете -360 по -45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

Съберете 18769 с 16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

Получете корен квадратен от 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

Противоположното на -137 е 137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

Умножете 2 по 90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

Сега решете уравнението m=\frac{137±187}{180}, когато ± е плюс. Съберете 137 с 187.

$$m=\frac{324}{180}$$

Намаляване на дробта \frac{324}{180} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 36.

$$m=\frac{9}{5}$$

Сега решете уравнението m=\frac{137±187}{180}, когато ± е минус. Извадете 187 от 137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

Намаляване на дробта \frac{-50}{180} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$m=-\frac{5}{18}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{9}{5} и x_{2} с -\frac{5}{18}.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Извадете \frac{9}{5} от m, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Съберете \frac{5}{18} и m, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

Умножете \frac{5m-9}{5} по \frac{18m+5}{18}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

Умножете 5 по 18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

Съкратете най-големия общ множител 90 в 90 и 90.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Изчисляване

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$