Решете 9z^2-42z+49=

$$9 z ^ { 2 } - 42 z + 49 =$$

Разлагане на множители

$$\left(3z-7\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 9z^{2}+az+bz+49. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-42 ab=9\times 49=441$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 441 на продукта.

$$-1,-441 -3,-147 -7,-63 -9,-49 -21,-21$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-441=-442 -3-147=-150 -7-63=-70 -9-49=-58 -21-21=-42$$

Решението е двойката, която дава сума -42.

$$a=-21 b=-21$$

Напишете 9z^{2}-42z+49 като \left(9z^{2}-21z\right)+\left(-21z+49\right).

$$\left(9z^{2}-21z\right)+\left(-21z+49\right)$$

Фактор, 3z в първата и -7 във втората група.

$$3z\left(3z-7\right)-7\left(3z-7\right)$$

Разложете на множители общия член 3z-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(3z-7\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(9z^{2}-42z+49)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(9,-42,49)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 9z^{2}.

$$\sqrt{9z^{2}}=3z$$

Намерете корен квадратен от последния член, 49.

$$\sqrt{49}=7$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(3z-7\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$9z^{2}-42z+49=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Повдигане на квадрат на -42.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Умножете -4 по 9.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

Умножете -36 по 49.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

Съберете 1764 с -1764.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±0}{2\times 9}$$

Противоположното на -42 е 42.

$$z=\frac{42±0}{2\times 9}$$

Умножете 2 по 9.

$$z=\frac{42±0}{18}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{7}{3} и x_{2} с \frac{7}{3}.

$$9z^{2}-42z+49=9\left(z-\frac{7}{3}\right)\left(z-\frac{7}{3}\right)$$

Извадете \frac{7}{3} от z, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{3z-7}{3}\left(z-\frac{7}{3}\right)$$

Извадете \frac{7}{3} от z, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{3z-7}{3}\times \frac{3z-7}{3}$$

Умножете \frac{3z-7}{3} по \frac{3z-7}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)}{3\times 3}$$

Умножете 3 по 3.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)}{9}$$

Съкратете най-големия общ множител 9 в 9 и 9.

$$9z^{2}-42z+49=\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)$$

Изчисляване

$$\left(3z-7\right)^{2}$$