Решете 9z^2-30z+41=0

$$9 z ^ { 2 } - 30 z + 41 = 0$$

Решаване за z

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i\approx 1,666666667+1,333333333i$$

$$z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i\approx 1,666666667-1,333333333i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$9z^{2}-30z+41=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 9 вместо a, -30 вместо b и 41 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 41}}{2\times 9}$$

Повдигане на квадрат на -30.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 41}}{2\times 9}$$

Умножете -4 по 9.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 41}}{2\times 9}$$

Умножете -36 по 41.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-1476}}{2\times 9}$$

Съберете 900 с -1476.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{-576}}{2\times 9}$$

Получете корен квадратен от -576.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±24i}{2\times 9}$$

Противоположното на -30 е 30.

$$z=\frac{30±24i}{2\times 9}$$

Умножете 2 по 9.

$$z=\frac{30±24i}{18}$$

Сега решете уравнението z=\frac{30±24i}{18}, когато ± е плюс. Съберете 30 с 24i.

$$z=\frac{30+24i}{18}$$

Разделете 30+24i на 18.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i$$

Сега решете уравнението z=\frac{30±24i}{18}, когато ± е минус. Извадете 24i от 30.

$$z=\frac{30-24i}{18}$$

Разделете 30-24i на 18.

$$z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$

Уравнението сега е решено.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$9z^{2}-30z+41=0$$

Извадете 41 и от двете страни на уравнението.

$$9z^{2}-30z+41-41=-41$$

Изваждане на 41 от самото него дава 0.

$$9z^{2}-30z=-41$$

Разделете двете страни на 9.

$$\frac{9z^{2}-30z}{9}=-\frac{41}{9}$$

Делението на 9 отменя умножението по 9.

$$z^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)z=-\frac{41}{9}$$

Намаляване на дробта \frac{-30}{9} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z=-\frac{41}{9}$$

Разделете -\frac{10}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{5}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{5}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{41}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{5}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}=\frac{-41+25}{9}$$

Съберете -\frac{41}{9} и \frac{25}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}=-\frac{16}{9}$$

Разложете на множител z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(z-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{16}{9}}$$

Опростявайте.

$$z-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}i z-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}i$$

Съберете \frac{5}{3} към двете страни на уравнението.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$