Решете 9y^2-12y+4=y^2

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

Решаване за y

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете y^{2} и от двете страни.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Групирайте 9y^{2} и -y^{2}, за да получите 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Разделете двете страни на 4.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 2y^{2}+ay+by+1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=-2 b=-1$$

Напишете 2y^{2}-3y+1 като \left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right).

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

Фактор, 2y в първата и -1 във втората група.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

Разложете на множители общия член y-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете y-1=0 и 2y-1=0.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете y^{2} и от двете страни.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Групирайте 9y^{2} и -y^{2}, за да получите 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 8 вместо a, -12 вместо b и 4 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Повдигане на квадрат на -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Умножете -4 по 8.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

Умножете -32 по 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

Съберете 144 с -128.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

Получете корен квадратен от 16.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

Противоположното на -12 е 12.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

Умножете 2 по 8.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

Сега решете уравнението y=\frac{12±4}{16}, когато ± е плюс. Съберете 12 с 4.

$$y=\frac{16}{16}$$

Разделете 16 на 16.

$$y=1$$

Сега решете уравнението y=\frac{12±4}{16}, когато ± е минус. Извадете 4 от 12.

$$y=\frac{8}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{8}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете y^{2} и от двете страни.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Групирайте 9y^{2} и -y^{2}, за да получите 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Извадете 4 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$8y^{2}-12y=-4$$

Разделете двете страни на 8.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

Делението на 8 отменя умножението по 8.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{-12}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{-4}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Разделете -\frac{3}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{3}{4}. След това съберете квадрата на -\frac{3}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{3}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Съберете -\frac{1}{2} и \frac{9}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Разложете на множител y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Опростявайте.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Съберете \frac{3}{4} към двете страни на уравнението.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$