Решете 9y^2-12y+4

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4$$

Разлагане на множители

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 9y^{2}+ay+by+4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 36 на продукта.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Решението е двойката, която дава сума -12.

$$a=-6 b=-6$$

Напишете 9y^{2}-12y+4 като \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Фактор, 3y в първата и -2 във втората група.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Разложете на множители общия член 3y-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(9y^{2}-12y+4)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(9,-12,4)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 9y^{2}.

$$\sqrt{9y^{2}}=3y$$

Намерете корен квадратен от последния член, 4.

$$\sqrt{4}=2$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Повдигане на квадрат на -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Умножете -4 по 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Умножете -36 по 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Съберете 144 с -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 9}$$

Противоположното на -12 е 12.

$$y=\frac{12±0}{2\times 9}$$

Умножете 2 по 9.

$$y=\frac{12±0}{18}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{2}{3} и x_{2} с \frac{2}{3}.

$$9y^{2}-12y+4=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Извадете \frac{2}{3} от y, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Извадете \frac{2}{3} от y, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\times \frac{3y-2}{3}$$

Умножете \frac{3y-2}{3} по \frac{3y-2}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{3\times 3}$$

Умножете 3 по 3.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{9}$$

Съкратете най-големия общ множител 9 в 9 и 9.

$$9y^{2}-12y+4=\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Изчисляване

$$\left(3y-2\right)^{2}$$