Решете 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Решаване за n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете 3n^{2} и от двете страни.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Групирайте 9n^{2} и -3n^{2}, за да получите 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 6n^{2}+an+bn+20. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 120 на продукта.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Решението е двойката, която дава сума -23.

$$a=-15 b=-8$$

Напишете 6n^{2}-23n+20 като \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Фактор, 3n в първата и -4 във втората група.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Разложете на множители общия член 2n-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 2n-5=0 и 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 3n^{2} и от двете страни.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Групирайте 9n^{2} и -3n^{2}, за да получите 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 6 вместо a, -23 вместо b и 20 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Повдигане на квадрат на -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Умножете -4 по 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Умножете -24 по 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Съберете 529 с -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Получете корен квадратен от 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Противоположното на -23 е 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Умножете 2 по 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Сега решете уравнението n=\frac{23±7}{12}, когато ± е плюс. Съберете 23 с 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{30}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Сега решете уравнението n=\frac{23±7}{12}, когато ± е минус. Извадете 7 от 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{16}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете 3n^{2} и от двете страни.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Групирайте 9n^{2} и -3n^{2}, за да получите 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Извадете 20 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Разделете двете страни на 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Делението на 6 отменя умножението по 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{-20}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Разделете -\frac{23}{6} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{23}{12}. След това съберете квадрата на -\frac{23}{12} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{23}{12}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Съберете -\frac{10}{3} и \frac{529}{144}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Разлагане на множители на n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Като правило, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Опростявайте.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Съберете \frac{23}{12} към двете страни на уравнението.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$