Решете 9y^2=12y-4

$$9 { y }^{ 2 } = 12y-4$$

Решаване за y

$$y=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете 12y и от двете страни.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Добавете 4 от двете страни.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 9y^{2}+ay+by+4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 36 на продукта.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Решението е двойката, която дава сума -12.

$$a=-6 b=-6$$

Напишете 9y^{2}-12y+4 като \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Фактор, 3y в първата и -2 във втората група.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Разложете на множители общия член 3y-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

За да намерите решение за уравнението, решете 3y-2=0.

$$y=\frac{2}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 12y и от двете страни.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Добавете 4 от двете страни.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 9 вместо a, -12 вместо b и 4 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Повдигане на квадрат на -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Умножете -4 по 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Умножете -36 по 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Съберете 144 с -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$y=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Противоположното на -12 е 12.

$$y=\frac{12}{2\times 9}$$

Умножете 2 по 9.

$$y=\frac{12}{18}$$

Намаляване на дробта \frac{12}{18} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете 12y и от двете страни.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Разделете двете страни на 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{4}{9}$$

Делението на 9 отменя умножението по 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{4}{9}$$

Намаляване на дробта \frac{-12}{9} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{4}{9}$$

Разделете -\frac{4}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{2}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{2}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{2}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Съберете -\frac{4}{9} и \frac{4}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=0$$

Разложете на множител y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Опростявайте.

$$y-\frac{2}{3}=0 y-\frac{2}{3}=0$$

Съберете \frac{2}{3} към двете страни на уравнението.

$$y=\frac{2}{3} y=\frac{2}{3}$$

Уравнението сега е решено. Решенията са еднакви.

$$y=\frac{2}{3}$$