Решете 9+x^2=(2x+1)^2

$$9 + x ^ { 2 } = ( 2 x + 1 ) ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} - 2}{3} \approx 1,097167541$$

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}\approx -2,430500874$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$9+x^{2}=4x^{2}+4x+1$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$9+x^{2}-4x^{2}=4x+1$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$9-3x^{2}=4x+1$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$9-3x^{2}-4x=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$9-3x^{2}-4x-1=0$$

Извадете 1 от 9, за да получите 8.

$$8-3x^{2}-4x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-3x^{2}-4x+8=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -3 вместо a, -4 вместо b и 8 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

Повдигане на квадрат на -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете -4 по -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+12\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 12 по 8.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+96}}{2\left(-3\right)}$$

Съберете 16 с 96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{112}}{2\left(-3\right)}$$

Получете корен квадратен от 112.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Противоположното на -4 е 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 2 по -3.

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{-6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{4±4\sqrt{7}}{-6}, когато ± е плюс. Съберете 4 с 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+4}{-6}$$

Разделете 4+4\sqrt{7} на -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{4±4\sqrt{7}}{-6}, когато ± е минус. Извадете 4\sqrt{7} от 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{7}}{-6}$$

Разделете 4-4\sqrt{7} на -6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$9+x^{2}=4x^{2}+4x+1$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$9+x^{2}-4x^{2}=4x+1$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$9-3x^{2}=4x+1$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$9-3x^{2}-4x=1$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$-3x^{2}-4x=1-9$$

Извадете 9 от 1, за да получите -8.

$$-3x^{2}-4x=-8$$

Разделете двете страни на -3.

$$\frac{-3x^{2}-4x}{-3}=-\frac{8}{-3}$$

Делението на -3 отменя умножението по -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-3}\right)x=-\frac{8}{-3}$$

Разделете -4 на -3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{8}{-3}$$

Разделете -8 на -3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{8}{3}$$

Разделете \frac{4}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{2}{3}. След това съберете квадрата на \frac{2}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{2}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{3}+\frac{4}{9}$$

Съберете \frac{8}{3} и \frac{4}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{28}{9}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Извадете \frac{2}{3} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$