Решете 84x^2+70x-294

$$84 { x }^{ 2 } +70x-294$$

Разлагане на множители

$$14\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Стъпки на решението

Разложете на множители 14.

$$14\left(6x^{2}+5x-21\right)$$

Сметнете 6x^{2}+5x-21. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 6x^{2}+ax+bx-21. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=5 ab=6\left(-21\right)=-126$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -126 на продукта.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Решението е двойката, която дава сума 5.

$$a=-9 b=14$$

Напишете 6x^{2}+5x-21 като \left(6x^{2}-9x\right)+\left(14x-21\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(14x-21\right)$$

Фактор, 3x в първата и 7 във втората група.

$$3x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$14\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$84x^{2}+70x-294=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 84\left(-294\right)}}{2\times 84}$$

Повдигане на квадрат на 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 84\left(-294\right)}}{2\times 84}$$

Умножете -4 по 84.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-336\left(-294\right)}}{2\times 84}$$

Умножете -336 по -294.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+98784}}{2\times 84}$$

Съберете 4900 с 98784.

$$x=\frac{-70±\sqrt{103684}}{2\times 84}$$

Получете корен квадратен от 103684.

$$x=\frac{-70±322}{2\times 84}$$

Умножете 2 по 84.

$$x=\frac{-70±322}{168}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-70±322}{168}, когато ± е плюс. Съберете -70 с 322.

$$x=\frac{252}{168}$$

Намаляване на дробта \frac{252}{168} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 84.

$$x=\frac{3}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-70±322}{168}, когато ± е минус. Извадете 322 от -70.

$$x=-\frac{392}{168}$$

Намаляване на дробта \frac{-392}{168} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 56.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{2} и x_{2} с -\frac{7}{3}.

$$84x^{2}+70x-294=84\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$84x^{2}+70x-294=84\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

Извадете \frac{3}{2} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{2x-3}{2}\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

Съберете \frac{7}{3} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{3x+7}{3}$$

Умножете \frac{2x-3}{2} по \frac{3x+7}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)}{6}$$

Съкратете най-големия общ множител 6 в 84 и 6.

$$84x^{2}+70x-294=14\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Изчисляване

$$84x^{2}+70x-294$$