Решете 81x^2-180x+100

$$81 x ^ { 2 } - 180 x + 100$$

Разлагане на множители

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 81x^{2}+ax+bx+100. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-180 ab=81\times 100=8100$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 8100 на продукта.

$$-1,-8100 -2,-4050 -3,-2700 -4,-2025 -5,-1620 -6,-1350 -9,-900 -10,-810 -12,-675 -15,-540 -18,-450 -20,-405 -25,-324 -27,-300 -30,-270 -36,-225 -45,-180 -50,-162 -54,-150 -60,-135 -75,-108 -81,-100 -90,-90$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-8100=-8101 -2-4050=-4052 -3-2700=-2703 -4-2025=-2029 -5-1620=-1625 -6-1350=-1356 -9-900=-909 -10-810=-820 -12-675=-687 -15-540=-555 -18-450=-468 -20-405=-425 -25-324=-349 -27-300=-327 -30-270=-300 -36-225=-261 -45-180=-225 -50-162=-212 -54-150=-204 -60-135=-195 -75-108=-183 -81-100=-181 -90-90=-180$$

Решението е двойката, която дава сума -180.

$$a=-90 b=-90$$

Напишете 81x^{2}-180x+100 като \left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right).

$$\left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right)$$

Фактор, 9x в първата и -10 във втората група.

$$9x\left(9x-10\right)-10\left(9x-10\right)$$

Разложете на множители общия член 9x-10, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(81x^{2}-180x+100)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(81,-180,100)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Намерете корен квадратен от последния член, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-180x+100=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{\left(-180\right)^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Повдигане на квадрат на -180.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Умножете -4 по 81.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Умножете -324 по 100.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Съберете 32400 с -32400.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±0}{2\times 81}$$

Противоположното на -180 е 180.

$$x=\frac{180±0}{2\times 81}$$

Умножете 2 по 81.

$$x=\frac{180±0}{162}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{10}{9} и x_{2} с \frac{10}{9}.

$$81x^{2}-180x+100=81\left(x-\frac{10}{9}\right)\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Извадете \frac{10}{9} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Извадете \frac{10}{9} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\times \frac{9x-10}{9}$$

Умножете \frac{9x-10}{9} по \frac{9x-10}{9}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{9\times 9}$$

Умножете 9 по 9.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{81}$$

Съкратете най-големия общ множител 81 в 81 и 81.

$$81x^{2}-180x+100=\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Изчисляване

$$\left(9x-10\right)^{2}$$