Решете 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Разлагане на множители

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 81x^{2}+ax+bx+100. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 8100 на продукта.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Решението е двойката, която дава сума 180.

$$a=90 b=90$$

Напишете 81x^{2}+180x+100 като \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Фактор, 9x в първата и 10 във втората група.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Разложете на множители общия член 9x+10, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Намерете корен квадратен от последния член, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Повдигане на квадрат на 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Умножете -4 по 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Умножете -324 по 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Съберете 32400 с -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Умножете 2 по 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -\frac{10}{9} и x_{2} с -\frac{10}{9}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Съберете \frac{10}{9} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Съберете \frac{10}{9} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Умножете \frac{9x+10}{9} по \frac{9x+10}{9}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Умножете 9 по 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Съкратете най-големия общ множител 81 в 81 и 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Изчисляване

$$\left(9x+10\right)^{2}$$