Решете 81n^2+18n+1

$$81 n ^ { 2 } + 18 n + 1$$

Разлагане на множители

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 81n^{2}+an+bn+1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=18 ab=81\times 1=81$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 81 на продукта.

$$1,81 3,27 9,9$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+81=82 3+27=30 9+9=18$$

Решението е двойката, която дава сума 18.

$$a=9 b=9$$

Напишете 81n^{2}+18n+1 като \left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right).

$$\left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right)$$

Разложете на множители 9n в 81n^{2}+9n.

$$9n\left(9n+1\right)+9n+1$$

Разложете на множители общия член 9n+1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(81n^{2}+18n+1)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(81,18,1)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 81n^{2}.

$$\sqrt{81n^{2}}=9n$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$81n^{2}+18n+1=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$n=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 81}}{2\times 81}$$

Повдигане на квадрат на 18.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 81}}{2\times 81}$$

Умножете -4 по 81.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-324}}{2\times 81}$$

Съберете 324 с -324.

$$n=\frac{-18±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$n=\frac{-18±0}{2\times 81}$$

Умножете 2 по 81.

$$n=\frac{-18±0}{162}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -\frac{1}{9} и x_{2} с -\frac{1}{9}.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n+\frac{1}{9}\right)\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Съберете \frac{1}{9} и n, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Съберете \frac{1}{9} и n, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\times \frac{9n+1}{9}$$

Умножете \frac{9n+1}{9} по \frac{9n+1}{9}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{9\times 9}$$

Умножете 9 по 9.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{81}$$

Съкратете най-големия общ множител 81 в 81 и 81.

$$81n^{2}+18n+1=\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Изчисляване

$$\left(9n+1\right)^{2}$$