Решете 81b^2-126b+48=0

$$81 b ^ { 2 } - 126 b + 48 = 0$$

Решаване за b

$$b=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$b=\frac{8}{9}\approx 0,888888889$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$81b^{2}-126b+48=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 81 вместо a, -126 вместо b и 48 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{\left(-126\right)^{2}-4\times 81\times 48}}{2\times 81}$$

Повдигане на квадрат на -126.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-4\times 81\times 48}}{2\times 81}$$

Умножете -4 по 81.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-324\times 48}}{2\times 81}$$

Умножете -324 по 48.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-15552}}{2\times 81}$$

Съберете 15876 с -15552.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{324}}{2\times 81}$$

Получете корен квадратен от 324.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±18}{2\times 81}$$

Противоположното на -126 е 126.

$$b=\frac{126±18}{2\times 81}$$

Умножете 2 по 81.

$$b=\frac{126±18}{162}$$

Сега решете уравнението b=\frac{126±18}{162}, когато ± е плюс. Съберете 126 с 18.

$$b=\frac{144}{162}$$

Намаляване на дробта \frac{144}{162} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 18.

$$b=\frac{8}{9}$$

Сега решете уравнението b=\frac{126±18}{162}, когато ± е минус. Извадете 18 от 126.

$$b=\frac{108}{162}$$

Намаляване на дробта \frac{108}{162} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 54.

$$b=\frac{2}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$b=\frac{8}{9} b=\frac{2}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$81b^{2}-126b+48=0$$

Извадете 48 и от двете страни на уравнението.

$$81b^{2}-126b+48-48=-48$$

Изваждане на 48 от самото него дава 0.

$$81b^{2}-126b=-48$$

Разделете двете страни на 81.

$$\frac{81b^{2}-126b}{81}=-\frac{48}{81}$$

Делението на 81 отменя умножението по 81.

$$b^{2}+\left(-\frac{126}{81}\right)b=-\frac{48}{81}$$

Намаляване на дробта \frac{-126}{81} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 9.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b=-\frac{48}{81}$$

Намаляване на дробта \frac{-48}{81} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b=-\frac{16}{27}$$

Разделете -\frac{14}{9} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{7}{9}. След това съберете квадрата на -\frac{7}{9} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{16}{27}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{7}{9}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}=-\frac{16}{27}+\frac{49}{81}$$

Съберете -\frac{16}{27} и \frac{49}{81}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}=\frac{1}{81}$$

Разложете на множител b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{1}{81}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{81}}$$

Опростявайте.

$$b-\frac{7}{9}=\frac{1}{9} b-\frac{7}{9}=-\frac{1}{9}$$

Съберете \frac{7}{9} към двете страни на уравнението.

$$b=\frac{8}{9} b=\frac{2}{3}$$