Решете 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Разлагане на множители

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 81x^{2}+ax+bx+25. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 2025 на продукта.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Решението е двойката, която дава сума 90.

$$a=45 b=45$$

Напишете 81x^{2}+90x+25 като \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Фактор, 9x в първата и 5 във втората група.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Разложете на множители общия член 9x+5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Намерете корен квадратен от последния член, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Повдигане на квадрат на 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Умножете -4 по 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Умножете -324 по 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Съберете 8100 с -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Умножете 2 по 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -\frac{5}{9} и x_{2} с -\frac{5}{9}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Съберете \frac{5}{9} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Съберете \frac{5}{9} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Умножете \frac{9x+5}{9} по \frac{9x+5}{9}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Умножете 9 по 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Съкратете най-големия общ множител 81 в 81 и 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Изчисляване

$$\left(9x+5\right)^{2}$$