Решете 8y^3-27=0

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

Решаване за y (complex solution)

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{4}\approx -0,75-1,299038106i$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\approx -0,75+1,299038106i$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -27, а q разделя водещия коефициент 8. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$y=\frac{3}{2}$$

Според теоремата за множителите y-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 8y^{3}-27 на 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3, за да получите 4y^{2}+6y+9. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 4 за a, 6 за b и 9 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Извършете изчисленията.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Решете уравнението 4y^{2}+6y+9=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$y=\frac{3}{2} y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Решаване за y

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -27, а q разделя водещия коефициент 8. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$y=\frac{3}{2}$$

Според теоремата за множителите y-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 8y^{3}-27 на 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3, за да получите 4y^{2}+6y+9. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 4 за a, 6 за b и 9 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Извършете изчисленията.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$y\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$y=\frac{3}{2}$$