Решете 8x^2+6x-27leq0

$$8 x ^ { 2 } + 6 x - 27 \leq 0$$

Решаване за x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{9}{4},\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}+6x-27=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 8 за a, 6 за b и -27 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 8\left(-27\right)}}{2\times 8}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-6±30}{16}$$

Решете уравнението x=\frac{-6±30}{16}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{9}{4}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{9}{4}\right)\leq 0$$

За да бъде произведението ≤0, една от стойностите x-\frac{3}{2} и x+\frac{9}{4} трябва да бъде ≥0, а другата трябва да бъде ≤0. Разгледайте случая, когато x-\frac{3}{2}\geq 0 и x+\frac{9}{4}\leq 0.

$$x-\frac{3}{2}\geq 0 x+\frac{9}{4}\leq 0$$

Това е невярно за всяко x.

$$x\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато x-\frac{3}{2}\leq 0 и x+\frac{9}{4}\geq 0.

$$x+\frac{9}{4}\geq 0 x-\frac{3}{2}\leq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\in \left[-\frac{9}{4},\frac{3}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{9}{4},\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{9}{4},\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$