Решете 8n^2-106n-7500=0

$$8 n ^ { 2 } - 106 n - 7500 = 0$$

Решаване за n

$$n = \frac{\sqrt{62809} + 53}{8} \approx 37,952154754$$

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}\approx -24,702154754$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 8 вместо a, -106 вместо b и -7500 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{\left(-106\right)^{2}-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Повдигане на квадрат на -106.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Умножете -4 по 8.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-32\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Умножете -32 по -7500.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236+240000}}{2\times 8}$$

Съберете 11236 с 240000.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{251236}}{2\times 8}$$

Получете корен квадратен от 251236.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Противоположното на -106 е 106.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Умножете 2 по 8.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}$$

Сега решете уравнението n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}, когато ± е плюс. Съберете 106 с 2\sqrt{62809}.

$$n=\frac{2\sqrt{62809}+106}{16}$$

Разделете 106+2\sqrt{62809} на 16.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8}$$

Сега решете уравнението n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}, когато ± е минус. Извадете 2\sqrt{62809} от 106.

$$n=\frac{106-2\sqrt{62809}}{16}$$

Разделете 106-2\sqrt{62809} на 16.

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Уравнението сега е решено.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Съберете 7500 към двете страни на уравнението.

$$8n^{2}-106n-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

Изваждане на -7500 от самото него дава 0.

$$8n^{2}-106n=-\left(-7500\right)$$

Извадете -7500 от 0.

$$8n^{2}-106n=7500$$

Разделете двете страни на 8.

$$\frac{8n^{2}-106n}{8}=\frac{7500}{8}$$

Делението на 8 отменя умножението по 8.

$$n^{2}+\left(-\frac{106}{8}\right)n=\frac{7500}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{-106}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{7500}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{7500}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{1875}{2}$$

Разделете -\frac{53}{4} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{53}{8}. След това съберете квадрата на -\frac{53}{8} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1875}{2}+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{53}{8}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{1875}{2}+\frac{2809}{64}$$

Съберете \frac{1875}{2} и \frac{2809}{64}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{62809}{64}$$

Разложете на множител n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{62809}{64}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{62809}{64}}$$

Опростявайте.

$$n-\frac{53}{8}=\frac{\sqrt{62809}}{8} n-\frac{53}{8}=-\frac{\sqrt{62809}}{8}$$

Съберете \frac{53}{8} към двете страни на уравнението.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$