Решете 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Разлагане на множители

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 8x^{2}+ax+bx-15. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -120 на продукта.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Решението е двойката, която дава сума -14.

$$a=-20 b=6$$

Напишете 8x^{2}-14x-15 като \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Фактор, 4x в първата и 3 във втората група.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Повдигане на квадрат на -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Умножете -4 по 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Умножете -32 по -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Съберете 196 с 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Получете корен квадратен от 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

Противоположното на -14 е 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Умножете 2 по 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±26}{16}, когато ± е плюс. Съберете 14 с 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{40}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±26}{16}, когато ± е минус. Извадете 26 от 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{-12}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{5}{2} и x_{2} с -\frac{3}{4}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Извадете \frac{5}{2} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Съберете \frac{3}{4} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Умножете \frac{2x-5}{2} по \frac{4x+3}{4}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Съкратете най-големия общ множител 8 в 8 и 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Изчисляване

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$