Решете 8x^2+16x-12>0

$$8 { x }^{ 2 } +16x-12 > 0$$

Решаване за x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right)\cup \left(\frac{\sqrt{10}}{2}-1,\infty\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}+16x-12=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 8 за a, 16 за b и -12 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 8\left(-12\right)}}{2\times 8}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-16±8\sqrt{10}}{16}$$

Решете уравнението x=\frac{-16±8\sqrt{10}}{16}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{\sqrt{10}}{2}-1$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$8\left(x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right)\right)>0$$

За да бъде положително произведението, трябва и двата множителя x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right) и x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right) да бъдат положителни или и двата да бъдат отрицателни. Разгледайте случая, когато x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right) и x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right) са отрицателни.

$$x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right)<0 x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right)<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x<-\frac{\sqrt{10}}{2}-1.

$$x<-\frac{\sqrt{10}}{2}-1$$

Разгледайте случая, когато x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right) и x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right) са положителни.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}-1\right)>0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x>\frac{\sqrt{10}}{2}-1.

$$x>\frac{\sqrt{10}}{2}-1$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x<-\frac{\sqrt{10}}{2}-1\text{; }x>\frac{\sqrt{10}}{2}-1$$