Решете 7x-5/2x^2-5/2x=1000

$$7x- \frac{ 5 }{ 2 } { x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x=1000$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}\approx 0,9+19,979739738i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}\approx 0,9-19,979739738i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Групирайте 7x и -\frac{5}{2}x, за да получите \frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Извадете 1000 и от двете страни.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}-1000=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-1000=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -\frac{5}{2} вместо a, \frac{9}{2} вместо b и -1000 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Повдигнете на квадрат \frac{9}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Умножете -4 по -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}+10\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Умножете 10 по -1000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-10000}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Съберете \frac{81}{4} с -10000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{-\frac{39919}{4}}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Получете корен квадратен от -\frac{39919}{4}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Умножете 2 по -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}, когато ± е плюс. Съберете -\frac{9}{2} с \frac{i\sqrt{39919}}{2}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{39919}i}{-5\times 2}$$

Разделете \frac{-9+i\sqrt{39919}}{2} на -5.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}, когато ± е минус. Извадете \frac{i\sqrt{39919}}{2} от -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i-9}{-5\times 2}$$

Разделете \frac{-9-i\sqrt{39919}}{2} на -5.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10} x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Групирайте 7x и -\frac{5}{2}x, за да получите \frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=1000$$

Разделете двете страни на уравнението на -\frac{5}{2}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$\frac{-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x}{-\frac{5}{2}}=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Делението на -\frac{5}{2} отменя умножението по -\frac{5}{2}.

$$x^{2}+\frac{\frac{9}{2}}{-\frac{5}{2}}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Разделете \frac{9}{2} на -\frac{5}{2} чрез умножаване на \frac{9}{2} по обратната стойност на -\frac{5}{2}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Разделете 1000 на -\frac{5}{2} чрез умножаване на 1000 по обратната стойност на -\frac{5}{2}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-400$$

Разделете -\frac{9}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{9}{10}. След това съберете квадрата на -\frac{9}{10} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{9}{10}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-400+\frac{81}{100}$$

Съберете -400 с \frac{81}{100}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{39919}{100}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{39919}{100}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39919}{100}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{39919}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{39919}i}{10}$$

Съберете \frac{9}{10} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$