Решете 772-2x^2+x-1leq0

$$772 - 2 x ^ { 2 } + x - 1 \leq 0$$

Решаване за x

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{6169}}{4}]\cup [\frac{\sqrt{6169}+1}{4},\infty)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 1 от 772, за да получите 771.

$$771-2x^{2}+x\leq 0$$

Умножете неравенството по -1, за да направите коефициента на най-високата степен в 771-2x^{2}+x положителен. Тъй като -1 е отрицателна, посоката на неравенство е променена.

$$-771+2x^{2}-x\geq 0$$

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$-771+2x^{2}-x=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 2 за a, -1 за b и -771 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-771\right)}}{2\times 2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4}$$

Решете уравнението x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{\sqrt{6169}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\right)\geq 0$$

За да бъде произведението ≥0, трябва и двата множителя x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} и x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} да бъдат ≤0 или и двата да бъдат ≥0. Разгледайте случая, когато x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} и x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} са ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\leq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Разгледайте случая, когато x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} и x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} са ≥0.

$$x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\geq 0 x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\geq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}.

$$x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$