Решете 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Разлагане на множители

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 77r^{2}+ar+br-18. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -1386 на продукта.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

Решението е двойката, която дава сума 45.

$$a=-21 b=66$$

Напишете 77r^{2}+45r-18 като \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Фактор, 7r в първата и 6 във втората група.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Разложете на множители общия член 11r-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Повдигане на квадрат на 45.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Умножете -4 по 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Умножете -308 по -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Съберете 2025 с 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Получете корен квадратен от 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Умножете 2 по 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Сега решете уравнението r=\frac{-45±87}{154}, когато ± е плюс. Съберете -45 с 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Намаляване на дробта \frac{42}{154} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Сега решете уравнението r=\frac{-45±87}{154}, когато ± е минус. Извадете 87 от -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Намаляване на дробта \frac{-132}{154} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{11} и x_{2} с -\frac{6}{7}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Извадете \frac{3}{11} от r, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Съберете \frac{6}{7} и r, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Умножете \frac{11r-3}{11} по \frac{7r+6}{7}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Умножете 11 по 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Съкратете най-големия общ множител 77 в 77 и 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Изчисляване

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$