Решете 72y^2-176y+64

$$72 y ^ { 2 } - 176 y + 64$$

Разлагане на множители

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Стъпки на решението

Разложете на множители 8.

$$8\left(9y^{2}-22y+8\right)$$

Сметнете 9y^{2}-22y+8. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 9y^{2}+ay+by+8. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-22 ab=9\times 8=72$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 72 на продукта.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Решението е двойката, която дава сума -22.

$$a=-18 b=-4$$

Напишете 9y^{2}-22y+8 като \left(9y^{2}-18y\right)+\left(-4y+8\right).

$$\left(9y^{2}-18y\right)+\left(-4y+8\right)$$

Фактор, 9y в първата и -4 във втората група.

$$9y\left(y-2\right)-4\left(y-2\right)$$

Разложете на множители общия член y-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$72y^{2}-176y+64=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{\left(-176\right)^{2}-4\times 72\times 64}}{2\times 72}$$

Повдигане на квадрат на -176.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-4\times 72\times 64}}{2\times 72}$$

Умножете -4 по 72.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-288\times 64}}{2\times 72}$$

Умножете -288 по 64.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-18432}}{2\times 72}$$

Съберете 30976 с -18432.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{12544}}{2\times 72}$$

Получете корен квадратен от 12544.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±112}{2\times 72}$$

Противоположното на -176 е 176.

$$y=\frac{176±112}{2\times 72}$$

Умножете 2 по 72.

$$y=\frac{176±112}{144}$$

Сега решете уравнението y=\frac{176±112}{144}, когато ± е плюс. Съберете 176 с 112.

$$y=\frac{288}{144}$$

Разделете 288 на 144.

$$y=2$$

Сега решете уравнението y=\frac{176±112}{144}, когато ± е минус. Извадете 112 от 176.

$$y=\frac{64}{144}$$

Намаляване на дробта \frac{64}{144} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 16.

$$y=\frac{4}{9}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с 2 и x_{2} с \frac{4}{9}.

$$72y^{2}-176y+64=72\left(y-2\right)\left(y-\frac{4}{9}\right)$$

Извадете \frac{4}{9} от y, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$72y^{2}-176y+64=72\left(y-2\right)\times \frac{9y-4}{9}$$

Съкратете най-големия общ множител 9 в 72 и 9.

$$72y^{2}-176y+64=8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Изчисляване

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$