Решете 72x^2-12x-40

$$72 { x }^{ 2 } -12x-40$$

Разлагане на множители

$$4\left(6x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Стъпки на решението

Разложете на множители 4.

$$4\left(18x^{2}-3x-10\right)$$

Сметнете 18x^{2}-3x-10. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 18x^{2}+ax+bx-10. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-3 ab=18\left(-10\right)=-180$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -180 на продукта.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Решението е двойката, която дава сума -3.

$$a=-15 b=12$$

Напишете 18x^{2}-3x-10 като \left(18x^{2}-15x\right)+\left(12x-10\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(12x-10\right)$$

Фактор, 3x в първата и 2 във втората група.

$$3x\left(6x-5\right)+2\left(6x-5\right)$$

Разложете на множители общия член 6x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$4\left(6x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$72x^{2}-12x-40=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 72\left(-40\right)}}{2\times 72}$$

Повдигане на квадрат на -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 72\left(-40\right)}}{2\times 72}$$

Умножете -4 по 72.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-288\left(-40\right)}}{2\times 72}$$

Умножете -288 по -40.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+11520}}{2\times 72}$$

Съберете 144 с 11520.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{11664}}{2\times 72}$$

Получете корен квадратен от 11664.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±108}{2\times 72}$$

Противоположното на -12 е 12.

$$x=\frac{12±108}{2\times 72}$$

Умножете 2 по 72.

$$x=\frac{12±108}{144}$$

Сега решете уравнението x=\frac{12±108}{144}, когато ± е плюс. Съберете 12 с 108.

$$x=\frac{120}{144}$$

Намаляване на дробта \frac{120}{144} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 24.

$$x=\frac{5}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{12±108}{144}, когато ± е минус. Извадете 108 от 12.

$$x=-\frac{96}{144}$$

Намаляване на дробта \frac{-96}{144} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 48.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{5}{6} и x_{2} с -\frac{2}{3}.

$$72x^{2}-12x-40=72\left(x-\frac{5}{6}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$72x^{2}-12x-40=72\left(x-\frac{5}{6}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Извадете \frac{5}{6} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$72x^{2}-12x-40=72\times \frac{6x-5}{6}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Съберете \frac{2}{3} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$72x^{2}-12x-40=72\times \frac{6x-5}{6}\times \frac{3x+2}{3}$$

Умножете \frac{6x-5}{6} по \frac{3x+2}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$72x^{2}-12x-40=72\times \frac{\left(6x-5\right)\left(3x+2\right)}{6\times 3}$$

Умножете 6 по 3.

$$72x^{2}-12x-40=72\times \frac{\left(6x-5\right)\left(3x+2\right)}{18}$$

Съкратете най-големия общ множител 18 в 72 и 18.

$$72x^{2}-12x-40=4\left(6x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Изчисляване

$$72x^{2}-12x-40$$