Решете 7x-y=-6text{and}x-y=0

$$7 x - y = - 6 \text { and } x - y = 0$$

Решаване за x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$7x-y=-6$$

Съберете y към двете страни на уравнението.

$$7x=y-6$$

Разделете двете страни на 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-6\right)$$

Умножете \frac{1}{7} по y-6.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}$$

Заместете \frac{-6+y}{7} вместо x в другото уравнение, x-y=0.

$$\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}-y=0$$

Съберете \frac{y}{7} с -y.

$$-\frac{6}{7}y-\frac{6}{7}=0$$

Съберете \frac{6}{7} към двете страни на уравнението.

$$-\frac{6}{7}y=\frac{6}{7}$$

Разделете двете страни на уравнението на -\frac{6}{7}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=-1$$

Заместете -1 вместо y в x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{1}{7}\left(-1\right)-\frac{6}{7}$$

Умножете \frac{1}{7} по -1.

$$x=\frac{-1-6}{7}$$

Съберете -\frac{6}{7} и -\frac{1}{7}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=-1$$

Системата сега е решена.

$$x=-1,y=-1$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)\\\frac{1}{6}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=-1,y=-1$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Извадете x-y=0 от 7x-y=-6, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$7x-x-y+y=-6$$

Съберете -y с y. Условията -y и y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$7x-x=-6$$

Съберете 7x с -x.

$$6x=-6$$

Разделете двете страни на 6.

$$x=-1$$

Заместете -1 вместо x в x-y=0. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$-1-y=0$$

Съберете 1 към двете страни на уравнението.

$$-y=1$$

Системата сега е решена.

$$x=-1,y=-1$$