Решете 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Решаване за x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$7x-15y-2=0$$

Съберете 2 към двете страни на уравнението.

$$7x-15y=2$$

Съберете 15y към двете страни на уравнението.

$$7x=15y+2$$

Разделете двете страни на 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Умножете \frac{1}{7} по 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Заместете \frac{15y+2}{7} вместо x в другото уравнение, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Съберете \frac{15y}{7} с 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Извадете \frac{2}{7} и от двете страни на уравнението.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{29}{7}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=\frac{19}{29}$$

Заместете \frac{19}{29} вместо y в x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Умножете \frac{15}{7} по \frac{19}{29}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Съберете \frac{2}{7} и \frac{285}{203}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=\frac{49}{29}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

За да направите 7x и x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 1, а всички членове от двете страни на второто по 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Опростявайте.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Извадете 7x+14y=21 от 7x-15y-2=0, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Съберете 7x с -7x. Условията 7x и -7x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-15y-14y-2=-21$$

Съберете -15y с -14y.

$$-29y-2=-21$$

Съберете 2 към двете страни на уравнението.

$$-29y=-19$$

Разделете двете страни на -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Заместете \frac{19}{29} вместо y в x+2y=3. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Умножете 2 по \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Извадете \frac{38}{29} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{49}{29}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$