Решете 6x-1=9x^2

$$6x-1=9 { x }^{ 2 }$$

Решаване за x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете 9x^{2} и от двете страни.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-9x^{2}+6x-1=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -9x^{2}+ax+bx-1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=6 ab=-9\left(-1\right)=9$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 9 на продукта.

$$1,9 3,3$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+9=10 3+3=6$$

Решението е двойката, която дава сума 6.

$$a=3 b=3$$

Напишете -9x^{2}+6x-1 като \left(-9x^{2}+3x\right)+\left(3x-1\right).

$$\left(-9x^{2}+3x\right)+\left(3x-1\right)$$

Разложете на множители -3x в -9x^{2}+3x.

$$-3x\left(3x-1\right)+3x-1$$

Разложете на множители общия член 3x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-1\right)\left(-3x+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-1=0 и -3x+1=0.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 9x^{2} и от двете страни.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-9x^{2}+6x-1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -9 вместо a, 6 вместо b и -1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-9\right)\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Повдигане на квадрат на 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-9\right)\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножете -4 по -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+36\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножете 36 по -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\left(-9\right)}$$

Съберете 36 с -36.

$$x=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\left(-9\right)}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$x=-\frac{6}{2\left(-9\right)}$$

Умножете 2 по -9.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Намаляване на дробта \frac{-6}{-18} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете 9x^{2} и от двете страни.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Добавете 1 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$6x-9x^{2}=1$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+6x=1$$

Разделете двете страни на -9.

$$\frac{-9x^{2}+6x}{-9}=\frac{1}{-9}$$

Делението на -9 отменя умножението по -9.

$$x^{2}+\frac{6}{-9}x=\frac{1}{-9}$$

Намаляване на дробта \frac{6}{-9} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{-9}$$

Разделете 1 на -9.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

Разделете -\frac{2}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Съберете -\frac{1}{9} и \frac{1}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{3}=0 x-\frac{1}{3}=0$$

Съберете \frac{1}{3} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

Уравнението сега е решено. Решенията са еднакви.

$$x=\frac{1}{3}$$