Решете 64v^2+48v+9

$$64 v ^ { 2 } + 48 v + 9$$

Разлагане на множители

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 64v^{2}+av+bv+9. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=48 ab=64\times 9=576$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 576 на продукта.

$$1,576 2,288 3,192 4,144 6,96 8,72 9,64 12,48 16,36 18,32 24,24$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+576=577 2+288=290 3+192=195 4+144=148 6+96=102 8+72=80 9+64=73 12+48=60 16+36=52 18+32=50 24+24=48$$

Решението е двойката, която дава сума 48.

$$a=24 b=24$$

Напишете 64v^{2}+48v+9 като \left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right).

$$\left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right)$$

Фактор, 8v в първата и 3 във втората група.

$$8v\left(8v+3\right)+3\left(8v+3\right)$$

Разложете на множители общия член 8v+3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(64v^{2}+48v+9)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(64,48,9)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 64v^{2}.

$$\sqrt{64v^{2}}=8v$$

Намерете корен квадратен от последния член, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$64v^{2}+48v+9=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$v=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Повдигане на квадрат на 48.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Умножете -4 по 64.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-256\times 9}}{2\times 64}$$

Умножете -256 по 9.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-2304}}{2\times 64}$$

Съберете 2304 с -2304.

$$v=\frac{-48±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$v=\frac{-48±0}{2\times 64}$$

Умножете 2 по 64.

$$v=\frac{-48±0}{128}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -\frac{3}{8} и x_{2} с -\frac{3}{8}.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v+\frac{3}{8}\right)\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Съберете \frac{3}{8} и v, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Съберете \frac{3}{8} и v, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\times \frac{8v+3}{8}$$

Умножете \frac{8v+3}{8} по \frac{8v+3}{8}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{8\times 8}$$

Умножете 8 по 8.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{64}$$

Съкратете най-големия общ множител 64 в 64 и 64.

$$64v^{2}+48v+9=\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Изчисляване

$$\left(8v+3\right)^{2}$$