Решете 636=5n+4n^2

$$636 = 5 n + 4 n ^ { 2 }$$

Решаване за n

$$n = -\frac{53}{4} = -13\frac{1}{4} = -13,25$$

$$n=12$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$5n+4n^{2}=636$$

Извадете 636 и от двете страни.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 4n^{2}+an+bn-636. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=5 ab=4\left(-636\right)=-2544$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -2544 на продукта.

$$-1,2544 -2,1272 -3,848 -4,636 -6,424 -8,318 -12,212 -16,159 -24,106 -48,53$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+2544=2543 -2+1272=1270 -3+848=845 -4+636=632 -6+424=418 -8+318=310 -12+212=200 -16+159=143 -24+106=82 -48+53=5$$

Решението е двойката, която дава сума 5.

$$a=-48 b=53$$

Напишете 4n^{2}+5n-636 като \left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right).

$$\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right)$$

Фактор, 4n в първата и 53 във втората група.

$$4n\left(n-12\right)+53\left(n-12\right)$$

Разложете на множители общия член n-12, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(n-12\right)\left(4n+53\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете n-12=0 и 4n+53=0.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$5n+4n^{2}=636$$

Извадете 636 и от двете страни.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, 5 вместо b и -636 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на 5.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по -636.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+10176}}{2\times 4}$$

Съберете 25 с 10176.

$$n=\frac{-5±\sqrt{10201}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 10201.

$$n=\frac{-5±101}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$n=\frac{-5±101}{8}$$

Сега решете уравнението n=\frac{-5±101}{8}, когато ± е плюс. Съберете -5 с 101.

$$n=\frac{96}{8}$$

Разделете 96 на 8.

$$n=12$$

Сега решете уравнението n=\frac{-5±101}{8}, когато ± е минус. Извадете 101 от -5.

$$n=-\frac{106}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{-106}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$n=-\frac{53}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$5n+4n^{2}=636$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}+5n=636$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4n^{2}+5n}{4}=\frac{636}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=\frac{636}{4}$$

Разделете 636 на 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=159$$

Разделете \frac{5}{4} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{5}{8}. След това съберете квадрата на \frac{5}{8} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=159+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{5}{8}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=159+\frac{25}{64}$$

Съберете 159 с \frac{25}{64}.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=\frac{10201}{64}$$

Разлагане на множители на n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}. Като правило, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{10201}{64}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{64}}$$

Опростявайте.

$$n+\frac{5}{8}=\frac{101}{8} n+\frac{5}{8}=-\frac{101}{8}$$

Извадете \frac{5}{8} и от двете страни на уравнението.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$