Решете 6x^2-x-40

$$6 x ^ { 2 } - x - 40$$

Разлагане на множители

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 6x^{2}+ax+bx-40. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -240 на продукта.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -1.

$$a=-16 b=15$$

Напишете 6x^{2}-x-40 като \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Фактор, 2x в първата и 5 във втората група.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Разложете на множители общия член 3x-8, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -4 по 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -24 по -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Съберете 1 с 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Получете корен квадратен от 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

Противоположното на -1 е 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Умножете 2 по 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±31}{12}, когато ± е плюс. Съберете 1 с 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{32}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±31}{12}, когато ± е минус. Извадете 31 от 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{-30}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{8}{3} и x_{2} с -\frac{5}{2}.

$$6x^{2}-x-40=6\left(x-\frac{8}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$6x^{2}-x-40=6\left(x-\frac{8}{3}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Извадете \frac{8}{3} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{3x-8}{3}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Съберете \frac{5}{2} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{3x-8}{3}\times \frac{2x+5}{2}$$

Умножете \frac{3x-8}{3} по \frac{2x+5}{2}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)}{3\times 2}$$

Умножете 3 по 2.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)}{6}$$

Съкратете най-големия общ множител 6 в 6 и 6.

$$6x^{2}-x-40=\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Изчисляване

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$