Решете 6x^2-5x+1<0

$$6 x ^ { 2 } - 5 x + 1 < 0$$

Решаване за x

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-5x+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 6 за a, -5 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\times 1}}{2\times 6}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{5±1}{12}$$

Решете уравнението x=\frac{5±1}{12}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)<0$$

За да бъде произведението отрицателно, x-\frac{1}{2} и x-\frac{1}{3} трябва да бъдат с противоположни знаци. Разгледайте случая, когато x-\frac{1}{2} е положително, а x-\frac{1}{3} е отрицателно.

$$x-\frac{1}{2}>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Това е невярно за всяко x.

$$x\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато x-\frac{1}{3} е положително, а x-\frac{1}{2} е отрицателно.

$$x-\frac{1}{3}>0 x-\frac{1}{2}<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$