Решете 6x^2-31x+35

$$6 x ^ { 2 } - 31 x + 35$$

Разлагане на множители

$$\left(2x-7\right)\left(3x-5\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 6x^{2}+ax+bx+35. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-31 ab=6\times 35=210$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 210 на продукта.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

Решението е двойката, която дава сума -31.

$$a=-21 b=-10$$

Напишете 6x^{2}-31x+35 като \left(6x^{2}-21x\right)+\left(-10x+35\right).

$$\left(6x^{2}-21x\right)+\left(-10x+35\right)$$

Фактор, 3x в първата и -5 във втората група.

$$3x\left(2x-7\right)-5\left(2x-7\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-7\right)\left(3x-5\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-31x+35=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 6\times 35}}{2\times 6}$$

Повдигане на квадрат на -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 6\times 35}}{2\times 6}$$

Умножете -4 по 6.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-24\times 35}}{2\times 6}$$

Умножете -24 по 35.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-840}}{2\times 6}$$

Съберете 961 с -840.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Получете корен квадратен от 121.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±11}{2\times 6}$$

Противоположното на -31 е 31.

$$x=\frac{31±11}{2\times 6}$$

Умножете 2 по 6.

$$x=\frac{31±11}{12}$$

Сега решете уравнението x=\frac{31±11}{12}, когато ± е плюс. Съберете 31 с 11.

$$x=\frac{42}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{42}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=\frac{7}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{31±11}{12}, когато ± е минус. Извадете 11 от 31.

$$x=\frac{20}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{20}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{7}{2} и x_{2} с \frac{5}{3}.

$$6x^{2}-31x+35=6\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\frac{5}{3}\right)$$

Извадете \frac{7}{2} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$6x^{2}-31x+35=6\times \frac{2x-7}{2}\left(x-\frac{5}{3}\right)$$

Извадете \frac{5}{3} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$6x^{2}-31x+35=6\times \frac{2x-7}{2}\times \frac{3x-5}{3}$$

Умножете \frac{2x-7}{2} по \frac{3x-5}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$6x^{2}-31x+35=6\times \frac{\left(2x-7\right)\left(3x-5\right)}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$6x^{2}-31x+35=6\times \frac{\left(2x-7\right)\left(3x-5\right)}{6}$$

Съкратете най-големия общ множител 6 в 6 и 6.

$$6x^{2}-31x+35=\left(2x-7\right)\left(3x-5\right)$$

Изчисляване

$$\left(2x-7\right)\left(3x-5\right)$$