Решете 6x^2-12x+3geq0

$$6 x ^ { 2 } - 12 x + 3 \geq 0$$

Решаване за x

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-12x+3=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 6 за a, -12 за b и 3 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}$$

Решете уравнението x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$6\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\geq 0$$

За да бъде произведението ≥0, трябва и двата множителя x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) и x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) да бъдат ≤0 или и двата да бъдат ≥0. Разгледайте случая, когато x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) и x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) са ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Разгледайте случая, когато x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) и x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) са ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$